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电影《Interstellar》中的引力延时
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《Interstellar》我昨天看了，并进行了简单的影评。美国确实是人类科技文明的代表。一方面，美国人在地球上指东打西、俨然是王者；另一方面，他们的想象力与目光投向了遥远的星系。美国拍摄的宇宙探索的电影、电视剧非常多，不仅想象力丰富，拍摄技巧先进，更重要的是，它有一个广大的、高文化程度的观众群，能够提供一个市场支撑这种类型的艺术创作。像《STAR TREK》这样的电视剧，经常把非常前沿的科学问题变成未来世界的应用，很多美国人百看不厌，甚至有专门的杂志进行研究。抛开其技术种族主义的成分，美国人热爱科学、尊重科学、尊重知识的精神是值得全人类学习的。如果人类不把自己的生存目标局限于在地球上争夺资源与空间，而是作为宇宙的探索者，那么在很多问题上的观点将更为远大。
《Interstellar》有个场景，探索者们来到了一个黑洞附近的一个行星，根据电影的描述，在这颗行星上的一小时相当于外面的7年。这是什么后果呢？电影显现出来的，探险队跑到那个星球上处理了一两件小事情，回来发现外面的时间已经过了20多年，男主角原本少年的儿子都已经步入中年了。从外面的角度看，他们确实等了20多年才把探险队等回来。在外面的人看来，探险队一顿饭吃了若干年，一口饭从碗里送到嘴里可能要一天；对探险队来说，他们的时间确实只过了三小时，他们也只能做三个小时的事情---而不是获得了更多的时间可以做更多的事情。
这种不同观察者时间流逝速度的差异并非什么新知识，而且基于100多年前爱因斯坦提出的相对论，以及之后的实验验证。在爱因斯坦之前，人们认为时间是独立于空间的一个独立流逝的参数，而两个固定点的空间距离是一个不变量。但爱因斯坦发现并非如此，对于不同观察者真正不变的物理量叫做间隔。从局部来说，间隔的平方等于时间差的平方减去空间坐标差的平方，这与勾股定理中距离平方等于坐标差平方的和有个符号的区别。引力则对应于时空的弯曲。在局部地图上我们可以通过勾股定理（近似）计算距离，但如果距离扩大就行不通了---因为地球表面是球体。这对于数学家来说其实并非新鲜概念，而是微分几何研究的问题。
总而言之，物理的现实是，时间并非绝对而独立，引力是空时几何的表现。在引力场中不同点的时间流逝速度可能不同。下面，我们通过一个物理教科书上经常用到的、简单实验结合中学物理加以说明。这个实验是已经被验证了的。
假设我们处于地球的引力场中，从地面向上发射一个频率为 f 的光子，这相当于向上空扔一个小球。根据量子力学，我们知道 光子的能量为 E0 = hf , h 为普朗克常数。如果这个光子的能量转换为质量，根据爱因斯坦质能公式，m = E0 /c^2 = h* f/ c^2 ， c为光速。
根据中学物理，质量为 m 的物体在重力场中高度为H ，其势能为 m*g*H，其中g为重力加速度。设在高度H ，光子的频率为f1，而能量守恒，因此我们有
h * f = h * f1 + h * f1 /c^2 * g * H
解出这个一元一次方程，我们得出在高度H，光的频率变成了 f1 = f / (1 + gH /c^2) 。在引力场g中，光子逆引力而动H距离，频率变小了一个 1/ (1 + gH /c^2) 因子 。
到目前为止，这都是中学物理。问题是怎么解释这个现象？
地面上的信号如果有N个波动起伏，那么在远处收到这些信号，也会收到N个波动的起伏。这个起伏的数量是不会变的。就像一个人在地面一分钟吃一口饭，一共吃了60口；无论谁看来都是60，不会变成59。
而频率是单位时间波动起伏的次数。为什么同一个信号，也就是同样次数的波动，引力场中不同高度的地点会得出不同的频率？ 稍微摆脱一下传统的时间概念，我们只能结论，不同高度时间流逝的多少不同。
假设地面流逝的时间为 t0， 在这么长时间内，光子振动次数为 N = f * t0。在高度H，我们知道光子的测出的频率是 f1, 同样次数的振动需要的时间为 t1。
f * t0 = f1 * t1。因此，t1 = f /f1 * t0 = t0 * (1 + gH /c^2) 。
可见，引力场“深处”的时间对应于外面更长的时间；外面感受的时间长度是里面时间长度的 (1 + gH /c^2) 倍。我们可以带入地面的数字进行一个估算，国际单位下， g = 9.8, c = 3 * 10^8，假设高度H= 1000 （米），则
1 + gH /c^2 = 1.0000000000000108 = 1 + 1.1 * 10^(-13) 。
也就是说，1公里高空与地面相比，时间流逝速度快些，但差别只有 十万亿分之一。
电影中，行星上的一小时相当于外面的7年。7年是 7* 365* 24 = 61320 小时。也就是说，在这个行星外时间的流逝速度是行星表面的6万倍。根据上面的近似公式，大家可以估算造成这么巨大的时间差异需要多么强大的引力场 ，要摆脱这么大引力的束缚需要多少能量 --- gH 的值明显是令人惊骇的，6万倍于单位质能。当然，更为准确的计算要使用正确的非线性 metric ，而不是简单的均匀引力场势能模型，但数量级应该是对的。
所以，我对这个6万倍的时间差 感觉极不靠谱。这需要极强的引力，而以电影中表现的飞船技术，应该根本无法安全着陆、也无法离开。
