前两天看了 LIGO 探测引力波的论文,并写了篇科普,其中令人最为震撼的是 LIGO 探测出来的长度变化竟然只有氢原子半径的一亿分之一。如此细微的变化,他们是怎么测出来的呢?谁在探测实验室说句话产生的振动都会引起超过这个变化。仪器里关键的是反射激光的镜子,这些镜子必须纹丝不动才行。根据介绍,LIGO 采用的方法是把镜子吊在绳子上,这样悬吊点振动但镜子会基本不动。他们是用了四级的这样悬吊装置。对此,我感到好奇,于是进行了一下粗略的计算。
如下图,镜子m 通过用长度为 L 的绳子吊在 M 上面;M在水平振动, 其坐标 [ix]X = A \cos(\omega t)[/ix],在小角度的情况下,绳子张力 [ix]T=mg[/ix], 镜子 m 的 x 坐标是[ix]x_m = X + L \theta[/ix],
F= ma, 因此
[ix]\frac{d^2{x_m}}{dt^2} = \frac{d^2X}{dt^2} + L \frac{d^2\theta}{dt^2} = -g \theta[/ix]
代入试解 [ix]\theta = B \cos(\omega t)[/ix]
[ix]- A \omega^2 -L B \omega^2 = -g B[/ix], 因此,
[ix]B= \frac{\omega^2}{g -L \omega^2}A[/ix], 因此,镜子 m 的坐标是
[ix]x_m = X + L \theta = A \cos(\omega t) + L \frac{\omega^2}{g -L \omega^2}A\cos(\omega t) = \frac{g}{g-L\omega^2} X [/ix]
[ix]x_m = \frac{1}{1-\frac{L}{g}\omega^2} X[/ix]
由此可见,如果悬吊点的振动角频率远大于单摆的角频率 [ix]\omega_0 = \sqrt{g/L}[/ix],则镜子 m 的振幅 基本是 悬吊点振幅的 [ix](\frac{\omega_0}{\omega})^2[/ix]。
例如,如果悬吊点振动频率为 50赫兹,而单摆为 1 hz,那么振动将被减弱到 2500 分之一。
如果是多级,每一级的衰减可以乘起来;而且考虑到中间级的质量有限,那么这个衰减就更大了。