日志
爱情的微分方程
热度 1 ||
今天在社区图书馆看到一本书《The Best Writing on Mathematics 2009》，里面是收集的一些关于数学的精彩短文。其中一位数学家写道：当年与女友的关系起起伏伏，很磨人，最后他们两人都意识到都是被机械的力量所驱使，正如牛顿力学及量子力学都是由微分方程来表达，爱情随时间的变化也是如此，认命吧。数学家的趣文中没有进行具体的计算，对此我感到好奇。
假设罗密欧（R）对朱丽叶（J) 感情的增长正比于 朱丽叶对罗密欧的感情，而朱丽叶对罗密欧的感情也是随着罗密欧的热度而变化，那么相关的微分方程是
[ix]\frac{d R}{dt} = a J[/ix]
[ix]\frac{d J}{dt} = b R[/ix]
其中 a、b 为两个参量。那么两人的感情如何变化呢？我们对第一个方程取导数，并代入第二个：
[ix]\frac{d^2J}{dt^2} = b \frac{dR}{dt} = a b J[/ix]
这是一个简单的二阶线性方程，其解为
[ix]J(t)= c_1 e^{-\sqrt{ab} t} + c_2 e^{\sqrt{ab} t} [/ix]
其中 c_1, c_2 是由初始条件决定的参数。里面有两个指数项。这个结果看起来有点意思了。
我们首先注意到，a与b 不一定是正数。假如 a 是正的，但 b 是负的（也就是说罗密欧热度越大朱丽叶反而降温）。那么 [ix]\sqrt{ab}[/ix] 是虚数，[ix]e^{\sqrt{ab} t} =\cos{ \sqrt{|ab|} t } + i \sin { \sqrt{|ab|} t } [/ix]。这是一个周期性震荡函数，准备辗转反侧吧。在这个简单的模型里，周期性震荡的结果只会在 a/b符号相反时候才会发生。
a、b 符号相反还会起伏，但如果 a、b中一个为0，那就一点起色的没有，死水一滩。
如果 a、b 均为正数，那么显然 R与J 都有指数增长的可能，但是上面的系数 c_2 就一定是正的吗？
在时间 t=0，两人毫无感情：J=0，R=0, 得出 [ix]c_1 = - c_2[/ix] 与[ix]c_1=c_2[/ix]，结果是 [ix]c_1=c_2=0[/ix]， J，R保持为零。这个结果也合理，假如 J,R 两人一直没有任何火花作为第一推动，吸引参数a、b 再大，也不会发生指数增长。
还可以进一步进行数学分析，不过这种事情太数学化也不好。就像这篇关于长发的文章（看看下面的评论
）。不过，我认为这位数学家给出的方程右边应该加入 [ix]dR/dt, dJ/dt[/ix] 这样的项，也就是说一方的感情变化与另一方感情的变化速度有关。
）。不过，我认为这位数学家给出的方程右边应该加入 [ix]dR/dt, dJ/dt[/ix] 这样的项，也就是说一方的感情变化与另一方感情的变化速度有关。那位发现感情周期震荡函数的数学家最后写道，后来他发现与女友的关系进入了混沌状态，不再是周期性 --- 原来他的方程组没有考虑到一个变量：这位女友的前男友在拉她回去。这位数学家无奈的写道：这是一个三体问题。三体问题（如太阳、地球、月亮）牛顿试图解决，没有成功。后来历代数学家经过前仆后继的研究后终于发现，三体问题无一般解析解，结果是 CHAOS，无法预测。 当然了，即使是三体问题，有时也可以近似为两体问题，比如说太阳、地球、月亮，计算前二者的轨迹往往可以忽略后者。
当然了，即使是三体问题，有时也可以近似为两体问题，比如说太阳、地球、月亮，计算前二者的轨迹往往可以忽略后者。
