如果一个人在小船上从船尾跳到船头,小船会怎么运动?这是我上中学时遇到的一个问题。当时我经过计算证实了一个令人惊奇的现象,至今记忆尤新。
忽略水对船的阻力,根据动量守恒,人往前面跳,船会往后退,人的动量正好与船的动量大小相同,反向相反。
人落在船头后呢?
人-船总动量为零,小船又会停下来。
如果考虑水对船的阻力呢。先来看看这里发生了什么。人跳起后一瞬间,船的水平动量与人的水平动量大小相同,反向相反。人在空中的期间,水平动量不变(忽略空气阻力);船往后退,但是船受到水的阻力,因此,其动量大小会减小。当人落下时,人的动量大于船的动量,整个系统的动量等于人的动量加上船的动量,船会向前运动,直到最终在水的阻力下停下。所以,人在空中时,船往后退,人落到船头后,船又往前走。
设人跳起水平动量为 P,则船后退的动量为 -P,船后退过程中受到水的阻力,动量减少,人着船后,船往前走,最终船在水的阻力下停下。
水的阻力 f 与速度 v 成正比,也就是 f = -kv,k 为常数。根据牛顿第二定律, dp/dt = f ,我们有所谓动量的变化等于冲量
[ix]dp/dt = -kv [/ix]
[ix]dp = -k v dt = -k \frac{dx}{dt} dt = -k dx[/ix]
x 为船移动方向的坐标。
因此,[ix]\Delta p = -k \cdot \Delta x[/ix]
可见,[ix]\Delta x = -\Delta p /k
[/ix]
由于船+人最开始动量为零(静止),最终动量也为零,动量变化为0,因此 [ix]\Delta x = 0[/ix]
结论:船最终会回到原处。
从上面看出,如果水的阻力不是与速度成正比,结果就会不一样了。