日志
彩虹也是阳光
热度 5 |||
蝴蝶的翅膀是彩色的，虹是七彩的，这是人类自古的常识。我们现在知道，白色的阳光其实包括了各种颜色的光，彩虹之所以是彩色正是来自阳光中不同颜色的光。
虹是怎么产生的呢？ 是我们背后射来的阳光照在我们前方的球形的水滴上，阳光从空气进入水滴，在水滴内部反射回来，再进入空气。在某个角度，反射的光存在“抱团”现象---也就是这个角度附近的光几乎都以同一个角度反射回来到我们的眼睛，看去更亮。从我们的眼睛以这个角度画一个圆锥形，这就是虹。
设光线入射水滴的入射角为 [ix]\theta[/ix], 折射角为 [ix]\phi[/ix], 则从对称性即可看出，光线在水珠内反射一次在射出的偏转角度为 [ix]R = (\theta-\phi) + (\pi - 2 \phi) + (\theta-\phi) = \pi - 4\phi + 2\theta[/ix],
根据折射定理，[ix]\sin \theta = n \sin \phi[/ix]， 因此 [ix]\cos \theta \space d\theta = n \cos \phi \space d\phi[/ix]
为了找出光线“抱团”的角度，我们要求 dR =0, 因此，[ix]-4 d\phi + 2 d\theta = 0[/ix], 我们有 [ix]-4 \frac{\cos\theta}{n\cos\phi}+2=0[/ix], 代入 [ix]\cos\phi = \sqrt{1-\sin^2\phi} = \sqrt{1- (\sin\theta/n)^2}[/ix],
经过运算得到，[ix]\sin^2\theta = \frac{4-n^2}{3}[/ix], 因此， [ix] \theta = \sin^{-1} \sqrt{ \frac{4-n^2}{3}}[/ix]
阳光从空气射入水珠、以及从水珠中射出时都发会发生折射，而不同颜色的光折射大小不同，所以不同颜色光“抱团”的角度略有不同，我们看到的颜色就分开了。光线偏转角 为[ix]R= \pi +2 \sin^{-1} \sqrt{ \frac{4-n^2}{3}} - 4 \sin^{-1} (\sqrt{ \frac{4-n^2}{3}}/n)[/ix] 如果代入红光的折射系数 n = 1.331 ，可以算出入射角度为 59.53 度， 光线偏转 137.6 度；代入蓝光的 n = 1.340 , 则入射角度为 59度，光线偏转 138.9 度 。可见，彩虹的蓝光偏转角度比红光大 1.2 度 ，因此蓝色在内圈。
从这个说明也可以看出，虹可以是一个完整的圆形，我们之所以只看到一半是因为下面被地面挡住了。如果到高处，是可以看到整个圆的。
下面是我照的一个照片
发现没有，除了中间的主虹外，外面还有个虹。外面那个大些、厚些，但要暗一些。
如果我们仔细观察，会发现外面的那个虹的颜色顺序与主虹相反，主虹的红色在外，紫色在内，而次虹的红色在内、紫色在外。
像这幅画就画错了，
那个外围的虹是怎么产生的呢？ 那是阳光在水珠内经过两次反射再射出来的结果。[ix]R = (\theta-\phi) + 2 (\pi - 2 \phi) + (\theta-\phi) = 2 \pi - 6\phi + 2\theta[/ix]，类似的计算得出 [ix]\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{9-n^2}{8}}[/ix] 。代入 红光 n= 1.331， 发现 入射角约 71.9 度，偏转角 4.02 （rad) = 230.3 度；代入蓝光, 算出偏转角 4.06(rad) = 232.6 度。注意，因为这种情况下光线偏转角度大于180度，蓝色圈在外面。红蓝之间的角度差达到 2.37度，对比前面计算出的主虹红蓝角度差1.2度，因此次级彩虹几乎要粗一倍。
类似的，N级彩虹的偏转角为 [ix]R=N\pi -2(N+1)\phi+2\theta[/ix]，入射角为 [tx]\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{(N+1)^2-n^2}{N(N+2)}}[/tx]，由于 n>1，这是有解的；对应光线偏转角度为： [ix]R=N\pi +2 \sin^{-1} \sqrt{\frac{(N+1)^2-n^2}{N(N+2)}} - 2(N+1) \sin^{-1} (\frac{1}{n} \sqrt{\frac{(N+1)^2-n^2}{N(N+2)}})[/ix]
上面这些式子看起来复杂，但如果你像我一样一步步算下去，就发现其实蛮有规律的。
其实我应该直接算一般的情况，这样剩下就是套公式。
其实我应该直接算一般的情况，这样剩下就是套公式。为什么雾虹的彩色不明显呢？这是因为雾里的水珠较小，导致同一颜色的光也会散开来（术语叫做衍射），各种颜色混在一起就几乎成白色了。从上面计算知道，彩虹的不同颜色分开的角度约为1度，如果水珠大小小于光波波长的50倍，衍射就会抹去这个差别。红光波长为 0.6 微米，因此当水珠约为30微米直径，红色基本就没有了，但紫色可能还能看出来。水珠越小，衍射越严重。从帘卷西风贴出的雾虹照片看，红色还有一点点，蓝色还是比较明显的，判断雾里水珠大小约 50 微米。
所以，从虹的颜色我们可以判断出水珠的大小。。。
在《论物理直觉与进化》一文中，我写道：【知识又影响了我们对世界的感知】，我们可以补充说，原来彩虹也是阳光。
PS: 上面所有计算都假设是从空气入射 n =1 , 考虑一般的情况，从 折射率为 n1的介质入射到折射率为n2的“水珠”，入射角公式为[tx]\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{(N+1)^2-(n_1/n_2)^2}{N(N+2)}}[/tx], 光线偏转角为
[tx]R=N\pi +2 \sin^{-1} \sqrt{\frac{(N+1)^2-(n_1/n_2)^2}{N(N+2)}} - 2(N+1) \sin^{-1} (\frac{1}{n_2} \sqrt{\frac{(N+1)^2-(n_1/n_2)^2}{N(N+2)}})[/tx]
