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科普：好奇孩子的三个数乘法问题（1）
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虚数 i --- 负一的平方根 --- 出现后，长期不被理解，后来是高斯找出其几何含义，那就是复数相当于二维平面上的点，其乘法相当于转动+伸展。 我在前面曾经写道，虚数 i 相当于一个九十度的转身，在评论中，我也提到，这个九十度转身是正好就是转动的生成元。
威廉-哈密尔顿是一位英国科学家，有一天他教他两个儿子怎么把两对数相乘，比如说一对数是 （1,2），一对是 （3,4），怎么正确地把它们乘起来算出 （1,2）x (3, 4) 呢? 考虑两个复数 a + i b 与 A + i B , 其相乘的结果 是 （a + ib ) * (A + iB ) = aA - bB + i (aB + bA) 。举例说明 （ 1+ 2i ) (3+4i) = 1*3-2*4 + i(1*4 + 2*3) = -5 + 10 i 。所以，哈密尔顿教他儿子们的答案是 ： (a, b) x (A, B) = (aA - bB, aB + bA ).
可以很容易验证，这个乘法满足所谓结合律，如果有三对数，是先乘后面两对，还是先乘前面两对，结果是一样的。我们举个例子好了
[（1,2）*（3,4）]*（5,6） = (-5, 10) * (5,6) = (-85, 20)
（1,2）*[（3,4）*（5,6）] = (1,2 ) * (-9, 38) = (-85, 20)
两个孩子接受力很强，很快就学会了这一招乘法。但他们马上冒出一个问题：三胞胎数 (a,b,c) 怎么与另外的三胞胎数 （A，B, C) 相乘呢？
这个问题卡住了哈密尔顿，他开始寻找答案，每天吃早饭，他小孩就会问：”爸爸，三胞胎数怎么相乘啊？“ 他只能回答，还不知道呢 （当然是排除那种最简单的情况）
这个问题困扰了哈密尔顿多年，有一天他经过一座桥时突然想到，三数之间不存在乘法 ，要建立类似一对数之间的乘法，必须要有四个数。
