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数学美：转身的想象 (1)
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人类最伟大的基本发明可能不是数学也不是音乐，而是用数学研究音乐。从古人发现音阶与弦长度的关系，到现代的试图解释一切的弦理论，都是这种数学化的超越性结果。中学数学说，i是负一的平方根，[ix]\it{i} = \sqrt{-1}[/ix]， i 的平方等于 -1。数学家们说这个 i 不是真的（real），而是想象（imaginary)。
戴着数学化的眼镜看到妙曼背影轻盈的转身， i 这个想象的数字就会出现在空间的另一个维度。让我们看看数学想象的美。
180度的转身，如果用数字来代表，那就是 -1 。而180是两个90度，那么90度的转身，一个侧影，岂不就是-1的平方根，也就是 i？（注一）
假设一个点的坐标是 (x, y)，那么将这一点绕原点逆时针转90度后，坐标成为 （-y, x)。这个很容易理解，逆时针转动这个点90度相当于把坐标轴顺时针转90度，原来的x 变成了新的y, 但原来的y 却是负的 x 。如果再转90度呢？如法炮制，把纵坐标改变符号成为新的横坐标，把横坐标变成纵坐标，我们得到 (-y, x) --->（-x, -y ) 。这当然正是我们预期的结果。
如果用矩阵来表示，那么90度的转动矩阵是
[ix]r = \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{array} \right)[/ix]
而 [ix]r^2 = \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array} \right) = - \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array} \right)
[/ix]
可见，这个90度的转身确实相当于 i。所谓虚数并不虚幻，而是一个引人遐想的侧影。
注一：读者可能会问，两个90度，不应该加法吗？为什么是乘法? 这个问题留给读者思考
（未完待续）
发表评论 评论 (3 个评论)
- 回复 方枪枪
- 1、对注一：90度转身再90度转身，为什么不是加法而是乘法：立体几何坐标变换的基础
2、对文章本身的理解：完整的坐标变换是旋转+平移
P’ = R*P + D
P’ is P in new coordinate system and R is the transformation matrix between the two system, D is the translation vector
to be specific, R the rotation matrix between the two systems while D is the translation vector between the two
只是转身，那么平移的矢量就没有了
