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科普：用中学数学推导出行星椭圆轨道方程 (4）
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在前面《科普：用中学数学推导出行星椭圆轨道方程 (3）-- 传统推导》一文中，我根据对牛顿《自然哲学之数学原理》一段话的理解，进行了推导，但这并没有得出行星的椭圆轨道方程，而是假定轨道是椭圆，获得椭圆的参数。在大学物理教程中，行星轨道的推导相当复杂，先是将牛顿第二定律转换为一个距离r与角度之间的二阶微分方程。而且关键的一步进行了一个 u=1/r的变换才将微分方程解出，这个变换令人觉得是神来之笔。下面，我完成用中学数学推导出椭圆轨道方程，而且步骤简单多了，没有任何花招、魔术。相关推导我准备整理一下，希望能作为中学物理课程的内容，说明中学数学其实能做不少用。《自然哲学之数学原理》所用的数学基本只是欧几里得几何与一些代数，而现在的中学生学了解析几何，学了向量的概念，掌握的数学工具比牛顿多，在同一个问题上应该比牛顿能更进一步。
牛顿第二定律：
[ix]m \vec{a} = - \frac{GMm }{r^2} \hat{e_r}[/ix], [ix]{e_r} 是径向的单位向量[/ix].
行星从t0到t1, 设时间差很小，则
[ix]\vec{a} = \frac{\vec{v_1}-\vec{v_0} }{t_1-t_0} =- \frac{GM }{r^2} \hat{e_r}[/ix],
因此，[ix]\vec{v_1}-\vec{v_0} =- \frac{GM }{r^2} (t_1-t_0)\hat{e_r}[/ix]
行星绕太阳运动的角速度为[ix]\omega[/ix]，根据角动量守恒，我们知道 [ix]\omega r^2[/ix]是一个常数，为简化起见令[ix]\omega r^2 = H[/ix]，H为轨道常数，取决于行星运动的初始值。
因此，[ix]t_1-t_0 = \frac{\theta_1-\theta_0}{\omega} = \frac{\theta_1-\theta_0}{H/r^2} = \frac{\theta_1-\theta_0}{H} r^2[/ix]
把这个代入上面，我们有
[ix]\vec{v_1}-\vec{v_0} =- \frac{GM }{r^2} \frac{\theta_1-\theta_0}{H} r^2\hat{e_r} = - \frac{GM}{H} (\theta_1-\theta_0) \hat{e_r}[/ix]
这里出现了一个神奇的事情，这个万有引力的[ix]r^2[/ix]被消去了。在角度变化很小时( [ix]\hat{e_t} [/ix] 为横向向的单位向量--也就是与径向垂直的方向），
[ix]-(\theta_1-\theta_0) \hat{e_r} = \hat{e_t}(\theta_1) - \hat{e_t}(\theta_0) [/ix]
这一点，如果想不清楚，可以画个向量图看看就知道了。因此，
[ix]\vec{v_1}-\vec{v_0} = \frac{GM}{H} (\hat{e_t}(\theta_1) - \hat{e_t}(\theta_0))[/ix]
由此可见，
[ix]\vec{v} = \frac{GM}{H} \hat{e_t}(\theta) +\vec{C}[/ix]，其中[ix]\vec{C}[/ix]为常向量。
通过调整坐标轴，我们可以使[ix]\vec{C}[/ix]与 [ix]\vec{r}_{\theta=0}[/ix]垂直，这样我们的计算将相对简化。
用上面的速度计算角动量，我们有
[ix] \frac{GM}{H} r + C r \cos \theta = H[/ix]
因此，
[ix] (\frac{GM}{H} + C \cos \theta ) r = H[/ix]
[ix] r = \frac{ H}{ \frac{GM}{H} + C \cos \theta } = \frac{H^2}{GM} \frac{1}{1+ \frac{CH}{GM} \cos\theta}[/ix]
以上正是圆锥截线的方程。当[ix] e=\frac{CH}{GM}[/ix]小于1时，这是一个椭圆，而当e>1时则是双曲线。
至此，我们完全用中学数学推导出了万有引力下的轨道方程。
下一集，我们将用中学数学计算水星的轨道进动。
