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科普：用中学数学推导出行星椭圆轨道方程（2）-- 什么是椭圆 ... ... ... ... ... .. ...
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圆大家都会画，到一点距离相等的点构成是圆，这个距离叫做圆的半径。椭圆则是距离到两点的加起来不变的点的轨迹。如下图，拿根绳子，两头钉在两个钉子上，然后用绳子套着铅笔画出的线就是椭圆。椭圆上的一点到两个钉子的距离加起来是绳子的长度。在下图中，绳子的长度是2a，两个钉子称为焦点，它们之间的距离为2f。因此下图中椭圆上一点到左焦点的距离r加上该点到右焦点的距离c为2a： r+c = 2a 。
很显然椭圆的宽度就是绳子的长度2a --- 橘红线对应是椭圆左右边点的情况，而紫色是椭圆最左边的情况，紫色与橘红色线的长度都是2a，加起来是椭圆宽度的两倍。
上图中r与两个焦点连线的角度为[ix]\theta[/ix]。那么r 与[ix]\theta[/ix]是什么关系呢？ 运用欧几里得的余弦定理，我们有
[ix]c^2 = r^2 - 2\times 2 f r \cos\theta + (2f)^2[/ix]
代入 [ix]c = 2a -r [/ix]
得出
[ix](2a -r )^2 = 4a^2 - 4ar + r^2 = r^2 + 4f^2 - 4 f r \cos\theta[/ix]
因此[ix]
(a- f\cos\theta ) r = a^2 - f^2[/ix]
因此 [ix]
r = \frac{a^2 - f^2}{a-f\cos\theta} = a \frac{1-(\frac{f}{a})^2}{1-\frac{f}{a} \cos\theta}[/ix]
定义 [ix]
e=\frac{f}{a}[/ix]，上面可以写成
[ix]r = a \frac{1-e^2}{1-e\cos\theta}[/ix]
如果两个焦点之间距离为0，也就是 2f=0, 那么e =0, 上面的方程就成为 r =a，也就是说椭圆上任一点到焦点的距离与角度没有关系，也就是一个圆。而如果e=f/a越大，那么椭圆就越扁。
下一集就是见证奇迹的时刻了。行星绕地球转，引力与距离平方成反比，我们要根据牛顿第二定律F=ma，用中学数学推导出行星运行的轨迹是一个椭圆，也就是轨迹的方程是上面的形式。
我在写完上集之后查看了一下牛顿《自然哲学的数学原理》的行星轨道部分，发现牛顿似乎并没有导出轨道的椭圆公式，而是考虑轨道与圆接近的时候，轨道与圆轨道之间的差别。我想他的大概思路应该是这样的，在行星离太阳最远处，其速度是横向的，如果速度大小不足以进行圆周运动，一部分引力使行星在径向做加速运动，考虑短时间内的变化，我们应该可以推出行星的位置变化，再与椭圆对照... 牛顿似乎还没有我们想象的那么厉害嘛！
且听下回分解。。。
