日志
科普：如何手算开N次方（初中代数）
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我在《N位数开M次方半文科思维都可以做到》一文中写道，【这个16位数开14次方完全可能。被测试者只需要牢记对数表即可】。任何数开任意次方可以变成4次查表与一次减法。但是你如果要做心算表演，必须背下几千个对数值，而且精度受限制。理科思维的人是决不可能干这个背对数表的苦活的，但文科或半文科思维拿出苦背政治标准答案的干劲应该没问题
。
。《最强大脑》节目中那位测试者随便出了个什么数的14次方的题目，像喝蛋汤似的。出题者与观众有没有想过，不要你心算，给你一张纸、一支笔，你怎么计算一个数的14次方？别说14次方，就是3次方也算不出来---你可能根本不知道怎么算。
因为，开方结果往往是无理数，不像乘法，根本没有直接的计算方法。只能试算，然后进行修正。开平方的手算方法只是把这个试算的代数转化成了一个计算程序。下面，让我们看看给出一个数E，只用初中代数，怎么开N次方吧。
所谓开N次方，就是找到一个数 r （称为N次根）, 满足 [ix]r^N = E[/ix]。
咋办？猜！
假设我猜这个根接近 X ，那么 r 可以表示为 [ix]r = X+ d[/ix], 其中d为误差。如果我能找到这个误差d，不就大功告成？我们上面的方程变成
[ix]r ^N = (X+d) ^N = E[/ix]
把上面括号里的乘方乘出，但是只取d的一次项（再多计算就麻烦了）：
[ix] (X+d) ^N = X^N + N X^{N-1} d + ... = E[/ix]
得出
[ix] N X^{N-1} d = E - X^N + ...[/ix]
得出
[ix]d\approx \frac{E-X^N}{N X^{N-1}} = \frac{1}{N} (\frac{E}{X^{N-1}} -X)[/ix]
这样我们得到r的一个新的近似 [ix]X+d= X + \frac{E-X^N}{N X^{N-1}} = (1-1/N) X + \frac{E}{N X^{N-1}}[/ix]
通过不断重复上面的计算，就可以求出N次方根的更精确的近似了。
下面我随便用10000（一万）开5次方作为示范。也就是说 E = 10000, N=5。第一步，猜一下大概是多少。10太大了，10的五次方是10万，5又太小，5的五次方是625*5，三千多，先试6看看。也就是X=6.
[ix]d= \frac{1}{N} (\frac{E}{X^{N-1}} -X) = \frac{1}{5} (\frac{10000}{6^4}-6) = \frac{1}{5} (10000/1296 - 6) \approx 0.343[/ix]
也就是第一次修正得出 X = 6+ 0.343 = 6.343。再将这个X代入上面的d计算公式，
[ix]d= \frac{1}{N} (\frac{E}{X^{N-1}} -X) = \frac{1}{5} (\frac{10000}{6.343^4}-6.343) \approx -0.033 [/ix]
哈哈，才算了一次，修正值就已经只有-0.033了，修正值是负的。新的X=6.343 - 0.033 = 6.31
继续算， [ix]d= \frac{1}{N} (\frac{E}{X^{N-1}} -X) = \frac{1}{5} (\frac{10000}{6.31^4}-6.31) \approx -0.0004[/ix]
惊人的快，才算两次，误差已经只有这么点。新的X=6.31- 0.0004 = 6.3096
算一下，6.3096^5 ~ 10000.2，已经相当接近一万了。
假如我们第一步猜的不准，猜10怎样？ 第一步算出 修正d 约为-9/5, 就把X降到8点几，然后估计要多算几次才能达到同样的精度。
上面的开方计算理论上是可以手算的，因为只用到乘除法。而且只算了两次，就达到了相当的精度(至少三位有效数字）。但可以看出来，这个计算量相当大。开5次方根需要计算四次的乘方。如果要开14次方，需要计算多位数13次的乘方。据我所知，目前地球上还没有人能够心算多位数的13次方。网上有名德国人能算两位数的两位数次方，但注意是靠记忆，三位数就不行了。
结论：大数字开高次方，背下对数表是最大的可能。
