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科普：格拉斯曼代数
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前两天在看一本书，里面提到一牛人的经历，名叫Grassmann ，学过一定数学或者理论物理的人应该知道的。我在北大本科写毕业论文时，教授让我看了几篇文章，其中就用到他的代数，对物理中研究费米场几乎是不可缺少的，我当时看了个稀里糊涂，也没有心情去找本书来弄清楚，更没有去追究此人的生平。
他的代数叫做 Grassmann代数，其核心理念可以归结为一条，一个变量的平方总是等于0。
也就是说 [ix]a^2=0[/ix]，因此，[ix](a+b)^2 =0 = a^2 + ab + ba + b^2 = ab+ba[/ix], 因此，[ix]ab+ba=0[/ix],因此 [ix]ab=-ba[/ix].
假设 a,b 各有两个分量, [ix]a = a_1 e_1 + a_2 e_2[/ix], [ix]b = b_1 e_1 + b_2 e_2[/ix]，则 [ix]ab = (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1e_2[/ix]，这应该对有点数学概念的很熟悉，是a与b构成的平行四边形的面积。有兴趣的可以继续。
这是格拉斯曼代数的科普，其代数在微分几何中、物理、工程中都可能用到。但此人最神奇的地方在于，他没有受过正规的数学教育，自学成才当了初中数学教师，然后写了一本书，介绍他的新代数。不幸的是，没有人对他的成果表示关注，他只好又重新写了一本书，结果还是没有人理睬。格拉斯曼于是写到：
”我感觉有义务宣布（冒着被视为自大的危险）就算这些成果在17年或者更长时间内不被采用，最终它还是会从尘封的记忆中迈入科学发展的殿堂，今天休眠的思想将结出果实...因为真理是永恒而又神圣的...真理永在，即使包裹它的外衣化为尘埃”。
感觉有点狂吧？
其实，狂人一般是不得志之人，他们得不到社会的承认，只好发出巨大的噪声，试图引起世人的注意。
而狂人之中纵然不乏格拉斯曼这样的开创性人物，大多却只是平庸的而又不甘心的loser。
记住这个：[ix] dx dy = -dy dx[/ix]
规范场是
[ix]A = A_{\mu} dx^\mu[/ix]
微分一次
[ix]dA = \partial_\nu A_{\mu} dx^\nu dx^\mu = \frac{1}{2} (\partial_\nu A_\mu dx^\nu dx^\mu - \partial_\nu A_\mu dx^\mu dx^\nu) \\
= \frac{1}{2} (\partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu)\hspace{1mm} dx^\nu dx^\mu[/ix]
上面是大家都熟悉的，这类似 Maxwell 电磁场。但是，我们还有这样的项
[ix] A^2 = (A_{\mu} dx^\mu )^2 = A_\mu A_\nu dx^\mu dx^\nu \\
= \frac{1}{2} (A_\mu A_\nu dx^\mu dx^\nu - A_\mu A_\nu dx^\nu dx^\mu) \\
=\frac{1}{2} (A_\mu A_\nu - A_\nu A_\mu) \hspace {1mm}dx^\mu dx^\nu[/ix]
如果是电磁场，A只是数字，上面这一项为0 。但是在杨米尔斯场中，A是矩阵，上面 A^2 不为零。这就是杨振宁花了几个月时间才找到的那一项。
