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科普：玩具直升飞机能飞多久
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前天看到一款玩具直升飞机，跟文末视频中的很像，非常轻巧（可见里面电池也很轻），令我相当惊奇的是，它能够在空中飞行5分钟左右，大大超过了我的预期，现在我们用中学物理粗略算一下。
直升飞机飞行的原理很简单，就是螺旋桨像风扇一样向下吹风，而空气的反作用力使飞机克服重力。怎么计算螺旋桨产生的升力呢？中学物理：牛顿第二定律，F=ma.
假设螺旋桨半径为R，扇出的风速为v，那么在时间dt内，扇下的空气质量是多少呢？ 这相当于一个长度为 v dt，半径为R的圆柱内的空气，假设空气密度为[ix]\rho[/ix], 其质量m为
[ix]m = \rho \pi R^2 v dt[/ix]
这么多空气在时间dt内，其速度由零到v, 因此其受力平均为 [ix]f = m v/dt = \rho\pi R^2 vdt \frac{v}{dt} = \pi \rho R^2 v^2[/ix]
这个力的反作用就是飞机获得的升力，应该等于飞机的重量 Mg （M是飞机的质量， g为重力加速度），因此
[ix] \pi \rho R^2 v^2 = Mg[/ix]
而空气在时间dt内获得的动能为 [ix]E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\rho \pi R^2 v dt \times v^2 = \frac{\pi}{2} \rho R^2 v^3 dt [/ix]，
从上面的方程中消去v，得到功率为 [ix]P= \frac{Mg}{2} \sqrt{\frac{Mg}{\pi R^2 \rho}}[/ix]
飞机质量约为50克，螺旋桨半径约5厘米，空气密度约 1千克每立方米，将这些参数带入，我们得出功率约为 2 瓦特。
因此飞行5分钟消耗能量为：2 * 5 * 60 = 600 焦耳。
根据这个网页： http://en.wikipedia.org/wiki/Energy_density ， 一千克的电池储存能量约50万焦耳，600焦耳的能量只需要1克的电池，也就是说50克的飞机，1克的电池就可以飞5分钟。
当然，考虑到电动机效率，无线电控制的功耗等等，实际功耗可能不是2瓦，而是5瓦。即使如此，也只需要3克左右的电池。
