枪弹速度与枪管长度的关系

岳东晓

总结：枪管长度为弹壳长度15倍，就可以获得最大动能的2/3

刚看到一个论坛上的网友为枪弹速度与枪长关系争得不可开交。这让我想起一本书，《Unintended Consequences》,里面讲一群波兰犹太人跟纳粹作斗争，这些人都是些书生，有物理教师，数学教师等，从来没有摸过枪，但是他们很快运用所学的物理、几何、三角等知识搞清了相关原理...

枪弹速度与枪管长度关系？这又是一个牛顿第二定律的问题。这个f=ma小学生都知道，但会不会运用就是另一码事了。

我在一篇博文中，用牛顿第二定律推导了气体压强P，体积V, 分子数量N，温度T之间的关系。中学物理称为理想气体公式：PV=NkT 。k是一个常数。

T是什么呢？T是气体分子平均机械能的一个统计数据，对应于每个机械自由度，平均机械能为1/2kT。如果是多原子分子，除朝三个方向平动外，还可以转动、震动，因此其自由度大于三。权且令这个自由度为f，那么平均每个分子的机械能就是 1/2*f*kT，但只有平动的部分才产生压力（注：更准确的计算需要运用量子物理，就不在此赘述了）。换言之，N个分子组成的系统的总内能为 U = 1/2 N* f* kT 。

枪弹的火药击发爆炸从物理上就是一个一些固体在极端时间内变成高温气体的过程，而枪弹被气体压力推出枪膛而射出的过程也是一个极短的过程，由于时间极短，我们可以假定系统与周围环境没有热量交换。这在中学物理课本中称为绝热过程。

有了这几个条件，我们就可以计算子弹速度了。

设气体压力为P，体积变化为dV，做功是 PdV （推导：假设枪弹底面积为A，则子弹受压力为F=P*A, 移动距离为dS, 则气体做功为 F*dS = P*A*dS, 而A*dS 就是膛内气体体积的增加 dV，因此气体做功为 PdV）。

由于是绝热过程，气体内能的减少等于这个做功的量。我们有，

PdV = -dU = - 1/2N*f*k*dT (1)

由理想气体方程PV=NkT, 我们得出：

PdV+ VdP = Nk*dT  (2)

在上面(1), (2)两个方程中消去dT，我们得到

ln (V/V_0) = - (f+2)/f * ln (P/P_0)

令 r = (f+2)/f   （举例：对于单原子气体，f=3, 因此，r = 5/3)。

上述关系可以写成 P*V^r =常数。

换言之，T ~ V^(1-r)

由于枪弹的动能等于气体内能损失，而气体内能U与气体温度关系已经在上面给出，枪弹动能正比于气体温度差，并且上述公式可以算出。由此可见，枪管越长（也就是出膛时气体膨胀的体积越大），枪弹获得动能越大，但这并不是一个简单的正比关系。

具体而言，枪弹动能 ~ V_0^(1-r) - V_1^(1-r)

V_0 为子弹壳内部装药体积，V_1为枪管体积。

对于双原子、或者线形分子（如CO2)气体，f=5 (三个平动自由度，两个转动自由度），r = 7/5 （如是立体结构原子，f=6, r=4/3)

枪弹动能为： V_0^(-2/5) - V_1^(-2/5)

假设V_1为 V_0的L倍，则枪弹动能 ~ 1- L^(-2/5)

以上述因子为 2/3为准，L ^(-2/5) = 1/3
推出， L = （1/3) ^ (-5/2) = 15

也就是说，枪管长度为弹壳长度15倍，就可以获得最大动能的2/3，再增加长度，也顶多增加1/3的动能。以北约5.56mm枪弹为例，其弹壳长度约4厘米，因此枪管长度60厘米就够了。