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在一次讨论中微子可能超光速时，我指出如果中微子质量为虚数，则其超光速并不违背相对论。对于物理学来说，没有圣经，什么条条框框都是可以打破的，是否能准确解释自然现象是唯一的标准。

这两天开车时，我思考了一下这个问题，现在把我的思路总结一下。

首先，我们看量子物理与经典物理的根本区别在哪。在经典物理中，位置 x 、动量 k 是描述系统运动的变量。但量子物理不是如此，量子力学隔了一层，系统的状态是用一个空间、时间的函数 f(x) 描述，这在量子力学中称为波函数，而系统的物理量是用作用于这个函数的算符描述。例如，对于动量有一个动量算符 P。如果 P f(x) = k f(x)  （k 是数而不是算符） 则我们称 f(x) 态具有动量 k。这就是量子力学的核心数学思想。现在我们来看看，这个动量算符 P 用坐标x 来表示是什么，会不会出现虚数 i。

考虑系统向右移动距离a, 这将 函数 f(x) 平移距离  a, 成为 f (x-a), 那么根据泰勒展开，我们有

$f(x-a) = e^{- a \frac{d}{dx}} f(x)$

假设a 很小，我们将上面的指数展开到 a 的第一级，

$f(x-a) = e^{-a \frac{d}{dx}} f(x) \approx (1 - a \frac{d}{dx} ) f(x) =  f(x) - a \frac{d}{dx} f(x)$

设 f(x) 态具有动量 k ，对上述两边运用动量算符 P，

$P f(x-a) = k f(x-a) = P f(x) - a P \frac{d}{dx} f(x) = k f(x) - a P \frac{d}{dx} f(x)$,

因此，$P {\frac{d}{dx} }f(x) = k \frac{d}{dx}f(x)$

可见，如果 f(x) 代表 动量为k 的状态，那么 $\frac{d}{dx}f(x)$ 也代表动量为k 的态，因此（no-degeneracy ), 我们得出

$\frac{d}{dx}f(x) = c f(x)$

其中 c 为常数。

因此， $f(x) = A e^{cx}$

A 为另一常数。但是我们还有一个限制，叫做 unitary 条件 , 那就是 f(x) 在平移到 f(x-a) 之后，其大小不变，也就是要求 $|e^{c(x-a) }| =| e^{cx}|$。

这只有两种可能 （1） c=0 , f =1； （2） c 为虚数。我们去掉 f=1 的 trivial 情况 （对应于没有物理）。

由此可见，量子力学中必须出现虚数，动量为k 的态的函数是 $e ^{ibx}$ （b 为实数），从$P e ^{ibx} = k e^{ibx}$ 可以看出一个解：

$P = - i \frac{d}{dx} , b = k$

由此可见，$[x, P] = xP -P x= xP - xP - (-i \frac{d}{dx} x ) =i$。

以上对易关系是整个量子理论的基础。

值得注意的是，我们上面仅仅是假设对应系统平移不变性有一个量（称之为动量），我们就得出了动量的算符，而且这个算符中间没有出现时间（或者速度）概念。类似的，对应于转动的量子理论，我们有相应的动量，也就是角动量，其算符仅仅是将上面的位置 x 换成 角度。

有人可能会问，为什么一定要虚数，我不能把所有方程列出实数部、虚数部，一个复数方程变两个实数方程不就行了？

问题是，这两个实数方程是不能独立的，如果将复函数分成实数部、虚数部的耦合方程，那么实际上相当于一个二分量向量方程。

我们将会需要这样的 2 x 2 矩阵，

$\left( \begin {array}{xx} 0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right)$.

显然，$\left( \begin {array}{xx} 0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right)^2 = - \left( \begin {array}{xx} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$

结果还是回到了一个东西的平方等于 -1.