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为什么量子理论中必须有虚数 i

已有 4807 次阅读2015-3-20 03:44 |个人分类:笔记|系统分类:科技| 万维网, 经典

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在万维网一次讨论中，我曾经提到量子理论与经典物理有一个明显的不同，那就是量子理论是基于复数，而经典物理是实数理论。这个观察是基于薛定谔方程中出现了i 。如果我们看一个场的拉格朗日量，量子场与经典场并没有区别，虚数 i 出现在将场量子化的过程中。

在一次讨论中微子可能超光速时，我指出如果中微子质量为虚数，则其超光速并不违背相对论。对于物理学来说，没有圣经，什么条条框框都是可以打破的，是否能准确解释自然现象是唯一的标准。

最近在网上看到了这篇文章，《Timing quantum tunneling to attosecond precision》，里面提到几名科学家测量了量子穿透的时间，“ The quantum mechanical equivalent of the electron's velocity is described by a complex number: the sum of a real and imaginary number.”，也就是说对于隧道效应中的粒子来说速度是复数，时间也是复数。

这篇博文《Why complex numbers are fundamental in physics》（为什么复数对于物理是基本的）试图说明为什么量子物理必须有虚数。但文章似乎只说明了可以有虚数，没有说明为什么必须有虚数。

这两天开车时，我思考了一下这个问题，现在把我的思路总结一下。

首先，我们看量子物理与经典物理的根本区别在哪。在经典物理中，位置 x 、动量 k 是描述系统运动的变量。但量子物理不是如此，量子力学隔了一层，系统的状态是用一个空间、时间的函数 f(x) 描述，这在量子力学中称为波函数，而系统的物理量是用作用于这个函数的算符描述。例如，对于动量有一个动量算符 P。如果 P f(x) = k f(x) （k 是数而不是算符）则我们称 f(x) 态具有动量 k。这就是量子力学的核心数学思想。现在我们来看看，这个动量算符 P 用坐标x 来表示是什么，会不会出现虚数 i。

考虑系统向右移动距离a, 这将函数 f(x) 平移距离 a, 成为 f (x-a), 那么根据泰勒展开，我们有

[ix]f(x-a) = e^{- a \frac{d}{dx}} f(x)[/ix]

假设a 很小，我们将上面的指数展开到 a 的第一级，

[ix]f(x-a) = e^{-a \frac{d}{dx}} f(x) \approx (1 - a \frac{d}{dx} ) f(x) = f(x) - a \frac{d}{dx} f(x) [/ix]

设 f(x) 态具有动量 k ，对上述两边运用动量算符 P，

[ix]P f(x-a) = k f(x-a) = P f(x) - a P \frac{d}{dx} f(x) = k f(x) - a P \frac{d}{dx} f(x) [/ix],

因此，[ix]P {\frac{d}{dx} }f(x) = k \frac{d}{dx}f(x)[/ix]

可见，如果 f(x) 代表动量为k 的状态，那么 [ix]\frac{d}{dx}f(x)[/ix] 也代表动量为k 的态，因此（no-degeneracy ), 我们得出

[ix]\frac{d}{dx}f(x) = c f(x)[/ix]

其中 c 为常数。

因此， [ix]f(x) = A e^{cx}[/ix]

A 为另一常数。但是我们还有一个限制，叫做 unitary 条件 , 那就是 f(x) 在平移到 f(x-a) 之后，其大小不变，也就是要求 [ix] |e^{c(x-a) }| =| e^{cx}|[/ix]。