科普：马航飞机飞行路径多普勒分析

岳东晓

岳东晓 (2014/03/25 22:58): 马航飞机是如何通过多普勒效应确定飞行方向引起了很多地猜测。让我们假设卫星通讯设备记载了精确的频率，多普勒效应取决于两个变量，一是飞机的速度，二是飞机速度与飞机-卫星连线的角度。如图， 从飞机看，发出的无线电波频率为 f, 波矢量为k，角频率 $\omega = 2\pi f$ 与k构成一个四矢量 $(\omega, \vec{k})$，那么根据洛伦茨变换，从卫星角度，其观察到的无线电频率$\omega^\prime$为[ix]\omega^\prime = \gam

科普：马航飞机飞行路径多普勒分析

马航飞机是如何通过多普勒效应确定飞行方向引起了很多地猜测。让我们假设卫星通讯设备记载了精确的频率，多普勒效应取决于两个变量，一是飞机的速度，二是飞机速度与飞机-卫星连线的角度。

如图， 

从飞机看，发出的无线电波频率为 f, 波矢量为k，角频率 [ix]\omega = 2\pi f[/ix] 与k构成一个四矢量 [ix](\omega, \vec{k})[/ix]，那么根据洛伦茨变换，从卫星角度，其观察到的无线电频率[ix]\omega^\prime[/ix]为

[ix]\omega^\prime = \gamma ( \omega + \frac{\vec{v} \cdot \vec{k}}{c^2})[/ix]

[ix]|k| = \omega/c [/ix], 所以，[ix]\omega^\prime = \gamma \omega (1 + \frac{v}{c}\cos\theta)[/ix]

为简化公式起见，令光速 c=1，我们有 

[ix]\omega^\prime = \frac{\omega (1 + v\cos\theta)}{\sqrt{1-v^2}}[/ix]

由此可见，卫星接收到的信号频率与飞机的速度与飞机速度与飞机-卫星连线的角度有关。飞机速度约为300米每秒，也就是 [ix] v=10^{-6}[/ix]，代入上述公式，频率变化最大为百万分之一。由于卫星在赤道上空，而飞机沿地球表面可能的南北路径并不对称，如果我们假定速度恒定，那么也许可以通过几个点的数据分析出飞行方向。但是如果速度（包括航向）可能大幅度变化，似乎不可能通过一个频率变化确定速度与角度两个变量。