科普计算：超新星为什么爆发

我在《2011诺贝尔物理奖: 超新星、宇宙膨胀、暗能量》一文中提到，中国在后汉书中就记载了公元185年的一颗超新星，后来在宋朝又记载了超新星爆发。而Type Ia超新星由于其亮度高度一致，被用来作为测量星系距离的“标准蜡烛”。那么，什么是超新星，为什么Ia类的超新星如此一致呢？

恒星是通过核聚变产生能量，由氢合成氦，再继续合成更重的元素，由此产生的热量、高温使恒星内部保持很高的压力。如果没有这种压力，恒星就会在自身引力作用下收缩、变小。在恒星的氢、氦燃料烧完，变成碳与氧之后，其温度不足以引发更进一步的聚变，于是星体开始逐渐冷却，在引力作用下，开始收缩、变小，形成所谓白矮星。在白矮星里，物质被大大的压缩，密度大大增加，一块糖大小的白矮星物质就有一吨。

白矮星温度虽然很低，但是由于里面的电子产生压力，这种压力对抗进一步的压缩。这是一种源自所谓泡利不相容原理的量子效应。

进一步考虑狭义相对论，科学家发现，如果白矮星质量超过一个极限，那么电子的压力也无法抵抗引力，白矮星会进一步收缩。这个收缩过程中会产生大量的热量，导致星体内部温度急剧升高，而引起碳、氧等元素进一步聚变，整个星体在极端的时间内爆炸。这就是Type Ia超新星。所有重元素，都是超新星爆发种产生的。人体里的那些重元素实际上都是超新星的遗迹。

一般白矮星刚形成的时候，质量低于这个称为钱德拉塞卡极限的数值，但是随后白矮星可能吸附星际物质，质量不断增加，一旦达到钱德拉塞卡极限，就会走上超新星爆发的不归之路。

下面我来计算一下白矮星的质量极限。为简单起见，我们用一个边长为L的立方盒子代替球状的星球。然后，我们往这个立方体里加入N个电子以及与之相应的质子与中子。这N个电子会产生压力，而质子、中子则是星体的质量的主要部分，产生引力。

量子理论告诉我们，所有的物体同时又是一种波，其波长a为普朗克常数h除以物体的动量p。换言之，物体的动量 p = h/a。把电子放在边长为L的盒子里，其波长只能是 2L/n，其中n为自然数。由于盒子是三维的，因此电子的状态可以用三个自然数表示：（n,m,l)。根据泡利不相容原理，每一个状态只能有两个电子（这是因为电子有两个自旋方向），因此一旦（1,1,1）状态上有了两个电子之后，再加一个电子就只能放到（2,1,1)的状态。由此类推。直到N个电子填满到(K,K,K)状态。

因此， K^3 ~N， K ~ N^1/3

现在，我们考虑往这个盒子里再增加一个电子与两个核子。一方面，这个电子会被放比(K,K,K)高一点点的能级上，这个能级对应的动量与N^1/3成正比，与L成反比。另一方面，增加的核子导致引力负能的增加。这个引力负能与星体的质量、也就与N成正比，与星体的大小L成反比。

如果电子速度远低于光速，根据牛顿力学，其动能E_k与动量的平方成正比，也就与N^2/3成正比，与L的平方成反比。因此，我们总可以通过减小L，让新增的动能与引力负能抵消。具体而言，L ~ N^(-1/3)。也就是说，星体质量越大，半径越小。

但是如果N足够大，电子的速度接近光速，那么其动能就近似等于动量乘以光速, E_k= p*c。因此，在相对论极限下，这个新增动能量与L成反比，与N^1/3成正比。而新增引力负能是与L成反比，与N成正比。其结果是，如果N大到一个数值，增加物质将导致星体的总机械能降低，而半径缩小再也无法扭转这个局面。其结果是，星体将走上继续收缩的不归路。用这个盒子模型，我得出星体的极限质量是 1.45倍太阳质量（参见附图）。超过这个质量，星体就会不断压缩。

如前所述，在这个收缩过程中，引力能将被转化为热能，导致星体内的碳、氧元素进一步聚变。大约经过1000年的酝酿，一个超新星就爆发了。

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