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概率问题贝叶斯定理推导与误区
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最近科学网就一个概率问题发生了非常有趣的讨论，我昨天看到，阅读了一下相关讨论，思考了一下。下面是我的 2 cents。
我们考虑：一个人有X病 （A）并且检测结果为 X阳性 （B）的概率。 我们可以想象将所有人全部进行X检测，并且进行 X 诊断，而考虑检测为阳性、并且诊断为有X的比例。
有两种计算方法。
一是：有X病，然后去检测为阳性。概率是有病的概率 P（A）乘以这个检查的准确概率 P(B|A)： P(A) * P (B|A) 。P(B|A) 是确实有X病然后测出 X 阳性的概率。
二是：检查X为阳性，然后被确诊为有X病的概率。概率是 P（B）* P(A|B)。这里 P(A|B) 是测出X阳性而确实有X病的概率。
两种结果应该相等，所以
$P(A) \ P(B|A) = P(B) \ P (A|B)$
上面的 P（B|A）记号如果 A、B换个位可能看得更清楚，不过既然都这么写，我们就跟着吧。
我们需要的是，检查出阳性，真的得了 X 病的概率 P（A|B）。由上面的等式可见：
$\ P (A|B) = \frac{P(A) \ P(B|A)}{P(B) }$
贝叶斯定理推导只此一步。
在文中的例子中， P(A) 是千分之一（人群患病率），P(B|A) 是99%。但要运用上面的公式，问题是人群中检测出阳性的几率P(B) 是多少？
显然，光从这个 99% 的准确率是不能得到这个信息的。为此，我们还要知道这个检测的 FALSE POSITIVE 率。也就是一个人没有X病，却测出X阳性的概率。这个 99% 准确率意味着 1% 的情况下有X 却没测出来，这是 1% 的假阴性。但1%的假阴性不等于 1% 的假阳性。单从X病人99% 能测出 X 阳性是得不到这个信息的。完全可能出现这种可能，一种测试有 1%的假阴性，但却是 0% 假阳性。
如果这个X 测试的假阴性率为1%，假阳性率为0% 。那么只要测出 X 阳性，则100%有 X 病。
这应该是常识。大家可以自己想想例子。
代入上面的公式当然得出同样的结果: 测试的假阳性率为0，那么人群中测出阳性的概率就是 患病率乘以 99%，也就是 P(B) = 1/1000 * 99% ，那么
$P(A|B) = \frac{\frac{1}{1000}\ \times 0.99} { \frac{1}{1000} \ \times 0.99} =\%100$
贝叶斯公式结果与我们上面的常识相同，如果假阳性率为零，测出阳性就是有X。
测试阳性真率 + 假阴性率 =1 。但是 阳性真率 + 假阳性率却不一定等于 1 。假阳性率也一般不等于假阴性率。
高山写的这篇 《深入探讨上次概率问题错误的根源》 中 P(B|not A) 就是假阳性率，这个我是看懂了。
如果人群患病率只有 1/1000，但是测试假阳性率却是10倍，达到 1/100。也就是说 1000个人中只有一人生病，这个测试却能得出10个人阳性，我们只能说，这个测试 90% 情况下错误报警。
这就像烽火戏诸侯。真有外敌来入侵，它100%能报告；但是美女要笑笑，它也狼烟四起。玩笑警报可能是真警报的10倍之多，真有事诸侯也不来了，这系统就此废了。这个古人就知道了，似乎不存在数学悖论。
发表评论 评论 (3 个评论)
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- To sum up ``Bayes' Theorem``, can we not think like the following way:
1. A test != An event
2. Tests are not 100% accurate.
3. A test can only give us the probability of its own, but NOT the actual probability.
4. There are false positives skewing the test results.
Therefore, to extract the real probability from a test, we need to -
1. Know the probabilities of false positive and false negative.
2. Base the real probability on the test probability.
E.g.
a. We have a drug test result.
b. We need to get the known error rates.
c. We may get the actual chance of positive.
