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日志

量子物理的初中代数基础--配平方(1)

热度 1已有 314 次阅读2017-3-5 05:56 |个人分类:科普|系统分类:教育| 初中数学

数学物理的基本方法归根结底是把复杂纠缠的问题变成简单独立的问题。小学数学里学过开平方。$a \ x^2 = c $ 这样的一元二次方程小学生都知道解,开平方即可。但如果加一项 $bx$ 呢?

关键技巧是配平方。把 $a \ x^2 + b \ x$ 凑出一个平方(加常数)来。如下:

$a \ x^2 + b \ x = a\ (x^2 +\frac{b}{a}) = a \ (x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}$

通过这个配平方,一次项没有了。从几何图像上理解,相当于把 x 坐标挪动一下,让左边代表的曲线挪到跟没有这个 x 一次项的情况。

配成平方后,我们就能知道一个二次式子的最大(或者最小)值了。例如:$x ^2 + 4 \ x -5= (x +2)^2 -9 $,因为平方项大于零, 整个表达的最小值为 -9。类似的: $x - \frac{1}{x} = (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$ ,可见其最小值为 2.

可不要小看这个二次配平方,它在量子物理里面具有举重轻重的作用,但是往往涉及无穷多个变量的情况。

让我们先看看有两个变量 x, y,  二元二次的式子,$a \ x^2 +b \ xy + c\ y^2 + d \ x + e \ y$。我们的目标是配成两个平方(加上常数)。例如: $2x^2 + 2xy+5y^2 +2x -2y +2=(x+2y)^2 +(x-y+ 1)^2 +1$。通过这个配方,我们至少知道它的最小值是1。从这个简单例子可以看出,二元二次配平方不但需要进行坐标的平移,还要进行 x,y的组合,也就是坐标的转动。

为了算出组合与平移的系数,我们可以列出一个方程组硬算,但显然这是一个很笨的办法,要是变量再增加,就更加麻烦了。

用矩阵的形式表达,

$a \ x^2 +b \ xy + c\ y^2 + d \ x + e \ y = \left( \begin{array}{cc} x & y\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} a & b/2\\ b/2 & c \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x\\y \end{array}\right) + \left( \begin{array}{cc} d & e\end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x\\y \end{array}\right) $
 
上面的表达方式给我们一个启发,可以把这样的二次多项式写成如下形式:

$x \ A \ x + b \cdot x$ 

其中 x 是向量 $x_i$, A 是一个对称矩阵,b 是一次项的系数向量。将A对角化,就可以把 $x_i x_2$ 一类的交叉项去掉,将第一项变成独立的平方之和。但是怎么把第二个线性项 b*x 去掉呢?

借用我们一元二次方程的配平方方法,我们考虑如下的平移, 

$x \to x + \frac{b}{2A}$

于是

$(x +\frac{b}{2A})\ A\ (x+\frac{b}{2A}) = ??$

贸然进行代数运算之前,我们注意 A 是矩阵,左右顺序不能随便。为谨慎起见,我们明确写出矩阵计算,并利用 A 的对称性 $A^{\top} = A$:

$(x +\frac{b}{2A})\ A\ (x+\frac{b}{2A}) = (x + \frac{1}{2} A^{-1} b)^\top \ A \ (x + \frac{1}{2} A^{-1} b) \\ =(x^{\top} + \frac{1}{2} b^\top A^{-1}) \ A \ (x + \frac{1}{2} A^{-1} b)\\ =x^{\top} \ A \ x + \frac{1}{2} b^{\top} x + \frac{1}{2} x^{\top} b + \frac{1}{4} b^{\top} A^{-1} b\\ =x A x + b x + \frac{1}{4}b\ A^{-1} \ b$

可见:

$x \ A \ x + b x = (x +\frac{b}{2A}) \ A \ (x +\frac{b}{2A}) - \frac{1}{4} bA^{-1} b$

在物理中,我们经常要用到所谓高斯积分:

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{- a \ x^2} dx = \sqrt{\pi/a}$

对 n 个变量的二次多项式  $x A x $,  A 对角化之后,变成了独立的积分相乘,对角系数相乘就是矩阵 A 的行列式,利用一维的高斯积分公式,我们得出:

$\int e^{- x A x + bx } d^{n}x \\ = \int \exp \left[ - (x +\frac{b}{2A} ) \ A \ (x+\frac {b}{2A} ) + \frac{1}{4} b A^{-1} b \right] d^n x \\ = \exp( \frac{1}{4} b A^{-1} b ) \int \exp \left[ - (x +\frac{b}{2A} ) \ A \ (x+\frac {b}{2A} ) \right] d^n x\\ = \exp( \frac{1}{4} b A^{-1} b )\sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$

读者可能问: So what?

令人惊奇的是,整个量子力学的数学似乎就是基于上面这个积分。


-未完待续





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