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日志

科学网刻舟求鱼讨论大总结

热度 1已有 1433 次阅读2017-1-2 09:41 |个人分类:科普|系统分类:教育

刻舟求鱼 (配图)》这篇2016年底的博文在科学网引发了热烈的讨论,到2017年元旦节日大家还在切磋。参加实质讨论的博主包括(但不限于)马红孺(上海交通大学教授), 尤明庆 (河南理工大学教授),张海涛 (物理专业),姬扬中国科学院半导体研究所研究员),文克玲(清华大学物理系),王虹宇鞍山师范学院教授),张云湖南第一师范讲师),应行仁 (系统科学与系统工程),徐晓李铭凝聚态物理),温海龙保定市农业科学研究所)(这个名单顺序任意收集),真可谓专家云集、盛况空前。国外也有物理专业人士参与评论。这么多对物理力学感兴趣的学者聚集在一起,真得感谢科学网给我们提供了这个平台。我应该是对相关讨论进展情况比较熟悉的,所以我做一个总结。


一. 刻舟求鱼问题及定性物理图像

一个人在小船上从船尾跳到船头,并且设水对船的阻力正比于船的速度,忽略空气阻力,船最后停在何处?这是刻舟求鱼的问题描述。

人在空中时,船往后退,但是由于期间船受到阻力,动量减少,人落到船头后,船又往前走。这是一个定性的物理图像。

问题是,船这个后退再前进的过程中到底走了多远,光从上面这个物理图像是无法定量判断的,需要根据外力运用牛顿力学进行计算。在我们的问题里,船受到的阻力为 $f = - k\ v_b$ , k 为常数, $v_b$ 为船速。伽利略曾说自然的语言是数学,有了这个给定的力的形式,下面的任务是运用 F=ma 算出结果。

有的同学说,实际水阻力形式很复杂,有无穷多未知因素,$f = - k v_b$ 不成立;人从后跳到前面,船吃水深度变化,阻力系数不同,等等。我的回应是,如果会算这个问题就算,先走再跑。我在 《刻舟求鱼之实验验证 (配图)》讲了,问题这么写只是为了生动点。薛定谔猫是为了生动,没有人会以为一只整猫会有量子效应。我可以把船造成完美的流线型,船远远 重于人,固定在水平导轨上, 船上下不能动,人用滚动的重球代替,等等。所以,纠缠题目本身没有意义。你如果说大鱼游过来把小船顶翻了,或者说船速太快,阻力不确定等等,还不如干脆老实承认不会用牛顿第二定律计算这个给定问题的结果。

牛顿早就发现在低速时,液体的粘滞阻力正比于速度。这种阻力正比于速度的关系在物理里经常出现朗之万方程与这个问题里遇到的方程非常类似,但加了个随机的外力。船上蹦蹦跳跳只是娱乐,如果能对解决其他物理问题提供基础,意义就来了。所以,这是一个有现实物理意义的问题。

二. 刻舟求鱼的牛顿第二定律

知道外力,知道牛顿第二定律,我们的任务就是正确运用了。牛顿在300多年前告诉我们,系统的动量变化(率)等于外力。令人与船的总动量为 $ p = p_{ren} + p_{boat} $ ,根据 Newton's second law:

$\frac{dp}{dt} = -k\ v_b = -k \frac{d x_b}{dt} $

其中$x_b (t)$ 是船的坐标。因此,

$dp = - k\ dx_b$ .

两边积分,得出对于任意时间 t,

$p(t) - p (0) = -k (x_b(t) - x_b(0)) $

初始条件是,时间为0, 船坐标 $x_b(0) =0$。当 k 不为零,$x_b(t) = - p(t)/k$。

最终人船静止, $p=0$。因此,最终 $x_b =0$. 也就是说船回到原处。

从这个推导可以看出,其实这个最终结果与人的运动过程无关,是跑也好,跳也好,爬也好,来回兜圈子也好,最终船都会回到原处。这包括人跳到船头又跳回船尾的情况。当然,既然从后面跳到前面船最终复位,再跳回来也会复位。

对牛顿第二定律不熟悉的同学可能对上面的方程存在疑问,想把人、船单独考虑,当然结果是一样的。设人对船的作用力是 $F_{rb}(t)$, 那么根据牛顿第三定律,船对人的作用力 $F_{br}(t) = - F_{rb} (t) $,我们列出人与船的方程:

人:$m_{r} \frac{dv_r}{dt} = F_{br} (t) $

船: $m_b \frac{dv_b} {dt} = F_{rb} (t) - k \frac{dx_b}{dt}$

初始条件: $v_b(0) = v_r (0) =0, x_b(0)=0$ .

对上面的方程对时间积分,我们有得出:

$m_{r} v_r(t) = \int_0^t F_{br}(t) dt$,

$m_b v_b(t) = \int_0^t F_{rb}(t) dt - k x_b(t) $


方程想加,并利用 $F_{br}(t) = - F_{rb} (t) $,得出:

$m_r v_r(t) + m_b v_b(t) = -k\ x_b(t)$ .

最终人船静止,上面方程左边为零,得出

$ k x_b=0$.

k 不为零,则 $x_b=0$。


注意,上面人-船之间的相互作用过程(只要最终人船合一)完全是任意的,狄拉克$\delta$函数式瞬间起跳着船也好,弹簧牵着慢慢上升降落也罢,最终结果都是船回原处。

三. 瞬间起跳降落的计算

上面的结果对于任意过程都是适用的,但是我们并不知道船位置与时间的关系。这如同中学物理里计算一个球从一个无摩擦弯曲轨道上滑下,你能根据从高度计算球到达某一点的速度,但不知道达到这一点的时间。对于人+船的问题,要计算船的位置随时间的变化,我们必须知道人船之间相互作用的形式。最简单的形式就是瞬间起跳,瞬间着船。读者可能说,瞬间起跳,速度在零时间内变成有限,加速度无穷大,力无穷大,而人腿肌肉产生的力量是有限的,不可能。那么,把人装在弹射器里弹出去吧,要是加速大太大,人扛不住,换上只 chicken 好了。或者,这个人是钢筋铁骨、脚上装着强力弹簧。记住,这个问题说人在船上跳的问题只是为了生动。如果还说,再怎样力也不是无限大。我们只能说,你可以用一个更为实际的模型算。为了简化计算起见,正如Apple79 博士在黄秀清博文下首次指出,我们假定冲量是狄拉克 delta 函数

瞬时起跳着陆的计算是简单的两步代数。计算结果在 《刻舟求鱼之蛮力计算 (配图)》(T为滞空时间,t 为着船后时间)。

$x_b(t) = - \frac{m_b V_0}{k} (1- e^{-kT/m_b} ) e^{-k\ t/(m_b+m_r)} $

正如 apple79 博士在评论中指出,上面的结果只有一个时间尺度 M/k。这是问题中唯一可以用于判断时间长短的量。

这个计算里用到了起跳前后瞬间、着船前后瞬间的动量守恒。这是一个显然的事情。系统动量的变化等于 外力的冲量。作用时间为零,外力(船受到的阻力)有限,因此外力冲量为零。

$m_b \frac{d v_b}{dt} = I \delta(t - T)$,

$m_r \frac{d v_r}{dt} = -I \delta(t - T) -k v_b $

从 $t = T -\epsilon$, 到 $t=T +\epsilon$ 积分, 取 $\lim_{\epsilon \to 0}$,

$m_b v_b(T+\epsilon) - m_b v_b (T-\epsilon) = I $,

$m_r v_r(T+\epsilon) - m_r v_r (T-\epsilon) = -I $.

因此,$m_b v_b(T+\epsilon) + m_r v_r(T+\epsilon) = m_b v_b(T-\epsilon) + m_r v_r(T-\epsilon) $。

四. 目前的状况总结

马红孺老师把这道题拿去给高一学生解决,有多人差不多得到了小船复位的结果,说明学生对这个题是理解的。张海涛读高中的公子也算出复位的结论。我还收到一个科学网学生读者的电子邮件,也得到了同样的结果。

根据我的综合,目前科学网马红孺张海涛、尤明庆、李铭等先后接受了上面(二)的一般性推导与结果。姬扬文克玲王虹宇张云 部分或有保留地认可了上面(三)的特殊结果。姬扬 构造了一个变阻力系数模型并进行了分析。张云使用持续冲力而不是瞬间作用计算,开始似乎得到船不能复位的结果。后来重新计算,发现漏掉了人船作用期间的船运动的距离

徐晓经过多次计算,最终得出(三)的结果,但他分析认为如果考虑有限作用时间,则船不能复位。从我们上面(二)看出,如果结果没有复位,肯定计算错误。

黄秀清似乎不认可上面的全部结果,但未给出任何计算。黄秀清提出一个“新颖”观点,认为需要考虑水对船的的“静摩擦力”。

至此,科学网物理专业的人士除黄秀清外基本达成一致。

(各位观点如果与上面不同,请指出)


补充链接


徐晓的回应:《刻舟:文字讲解岳东晓博士的基本错误

李铭 : 岳东晓《刻舟求鱼》的讨论该结束了




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