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日志

爱因斯坦布朗运动论文详解

已有 992 次阅读2016-12-25 14:50 |个人分类:科普|系统分类:教育| 爱因斯坦, 论文

这篇《粘滞阻力、布朗运动、爱因斯坦》里面有几个细节,可能不清楚。我再多解释下。


假设液体中悬浮着半径为R的粒子群,数密度为 n (数密度就是单位体积的粒子个数),其产生的压强根据理想气体的压强公式是:

$p = n k_B T$

实验中,这些球粒可以算是宏观物体了,显微镜能看到。读者可能问,液体中悬浮着的小球粒怎么用理想气体方程,这得写另外一篇才能解释,物理直觉应该就是如此---独立的小球群做热运动。如果数密度在 x 方向是变化的,那么不同地点的压强也就不同。考虑横截面积为 A 厚度 为 $\Delta x$ 的一块,它上面的总压力是

$F_A = A\ [p(x+\Delta x) - p(x)] = A \Delta x \frac{dp}{dx}$

这块流体内的球粒数量为 $n A \Delta x$, 因此,单个球粒上的平均受力为

$F = A \Delta x \frac{dp}{dx}/( n A \Delta x) = \frac{k_B T }{n} \frac{dn}{dx}$

在一个外力场下,球粒在力方向运动终极速度为 v,方向为力的方向,则单位面积、单位时间流过的球粒数量(流量)为

$J_e = n\ v$

如果系统处于平衡,那么力的方向粒子密度大,粒子从密度高处向低处扩散的流量 $ D \frac{dn}{dx}$ 与粒子漂移流量平衡,因此

$ D \frac{dn}{dx} = n \ v$

但根据 STOKES 公式,球粒受到的粘滞阻力是 $6 \pi \eta R v$, 因此(看看力的平衡关系)

$ \frac{k_B }{n} \frac{dn}{dx} = 6\pi \eta R \ v$

上面两个方程解出:

$D=\frac{k_B T}{6\pi\eta R}$


具体实验中,外力可以就是重力。但注意,外力(悬浮颗粒的重力)并不在上面的公式中出现,这是因为理想气体的压强与粒子的质量无关,而STOKES的粘滞阻力也与球的质量无关。这样,从测量D,就可以算出玻尔兹曼常数,也就能确定 AVOGADARO 常数了。


1926年,用爱因斯坦上面这个方程实验确定 Avogadro 常数 获得了诺贝尔奖。令人惊奇的是,上面似乎不是那么严谨地推导论证得出的公式相当精确,实验得出Avogadro 常数 误差相当小。

Jean Baptiste Perrin
https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1926/perrin-facts.html

http://advlabs.aapt.org/bfy/files/AJPBrownianPaper.pdf
Perrin used several approaches in determining Avogadro’s
number,7 including direct measurements of the mean square
displacement and application of Einstein’s equation.

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