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就刻舟求鱼问题与应行仁等老师探讨
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就刻舟求鱼问题与应行仁等老师探讨
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这篇《刻舟求鱼 (配图） 》出乎意料地引发了强烈 兴趣。问题是假定船受到的阻力与船的速度成正比 （f = -kv），船上的人从船尾跳到船头，船最终处于何处。我的证明如下。
人+船的动量变化等于外力的冲量，由于忽略了空气阻力，唯一的外力是水对船的阻力。
因此，
由于船+人最开始动量为零（静止），最终也是静止，动量也为零。动量变化为0，因此船的位移为零。
应行仁老师评论到：
【在岳的公式中，他说“由于船+人最开始动量为零（静止），最终也是静止，动量也为零。动量变化为0”， 这是指起跳前和落地后Δp =0，所以x是人船系统的质心。不是船的位置。如果有人用这公式考察人跳船后移和落船前行的动量，是否从动量相等得出船的两个位移相等？不能。细考如下，Δp1是船后移的动量，那Δx1 =- Δp1/k 是船后移的距离，人落到船上后，Δx2 =- Δp2/k ，虽然Δp1=Δp2，但是这时，Δx2是人与船的质心，所以虽然Δx1=Δx2，它们所指的位置不同，船的位置仍然不是到原位。】
我的回应如下：
上面计算中的 p 为人+船系统的总动量。根据牛顿定律，一个系统的动量的变化等于系统所受外力的冲量，这是因为内力产生的动量变化是互相抵消的。在这里，人+船为系统，由于忽略空气阻力，外力就是水对船的阻力 f 。
注意，符号 p 代表的是人的动量+船的动量。到这一步应该没有疑问。
接下来我们代入 f 。它是船受到的阻力，等于一个常数乘以船的速度 。
上面 x_b 是船的位置坐标。这一点应该没有问题。
因此，
两边积分，
从上面这个推导可以看出，左边是系统（人+船）总动量的变化，右边是船的位置变化（而不是系统质心位置的变化）。
黄兴滨博主说【一个简单的反例即可说明该方法的错误，如果人直接跳进水中，按博主的方法显然也有“人船系统初始与最终动量为零，动量变化为零，因此船的位置变化 \Delta x 为零”的荒谬结论。】
这是不成立的。在我们上面的计算中只有水对船的阻力，水对人没有任何作用。如果人跳入水中，那么必须考虑水对人的作用。方程右边必须加上水对人的冲量。
http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1021764.html
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4 徐令予 姬扬 张海涛 apple79
发表评论评论 (8 个评论)
- 删除 回复[8]张海涛
- 博主的“Δp=-kΔx_b"解释更好，可以让我们忽略所有的中间运动细节，这大概也是博主讨论此题的初衷：这个系统有一个广义上的守恒量Δp+kΔx_b=0，可以让我们计算始态和终态而不必考虑过程，这类似于势能和能量守恒的关系。虽然应用范围有限，但也是很有启发。
- 博主回复(2016-12-20 09:50)：是这样。这个结果与中间过程无关，是它有趣的地方。
牛顿第二定律的准确形式是 dp/dt = f 。如果清楚了这一点，就不会因为人、船似乎可以独立运动而困惑了。
- 删除 回复[7]张海涛
- 应老师的结论和博主的已经很接近了，最后一点歧义可以通过把假设或细节讲得更明了来解决：人回到船上后，人+船最终回复刚体状态（即人对于船相对静止）。在没有旋转的情况，刚体质心的位移和刚体的任一部分的位移是相同的，船的位移也是Δx2=Δx1，这样两位的结论就一致了。
- 删除 回复[6]应行仁
- > 这个模型里没有质点。牛顿动量定律 f=ma 适用于有限大小的物体。
牛顿动量定律 f=ma 是质点运动方程，把所有的质量集中在一个点上。这方程与几何体无关。有限大小的物体只有是刚体时，里面每个几何点的运动才与质心保持一致，非刚体就不是如此，取非刚体组合的不同部份考察，可以得出不同的位移结论。
再多说一句，这个模型的简化本身就包含着矛盾的解读，沿着一个偏向的解读都能自园其说，所以对实践都没有指导意义，争议也就很无谓。 - 博主回复(2016-12-20 04:33)：一条链子垂直掉下来，对地面造成的冲力计算就是一个 典型的例子。正确的解答运用
dp = d (mv) = dm * v + m *dv 。 - 博主回复(2016-12-20 04:24)：牛顿定律的原始也是准确表示是：系统的动量变化等于力的作用，dp/dt = f ，p 是系统的总动量， f 是系统所受外力 。参见牛顿《自然哲学之数学原理》的原文。f =ma 是通俗说法。相关的概念我曾做科普。
- 删除 回复[5]应行仁
- 其实这问题用不同的物理模型就有不同的答案。我那个评论只为了说明即使按照你的模型，仍然有不同的解读。因为所有的公式推导都是用刚体的质点模型，而事实并非那么简单。
这问题答案的矛盾出自于不洽当的简化物理模型，在推理的过程中，有简化之外的不同解读，就造成不同的答案。公式的推导只是解读的逻辑推演，它的结果早就由模型的解读确定了。所以这个问题分析，就会有推论的不确定性。
在你的公式中 Δx 解读成船的位移坐标是你的答案，解读成人船质心的位移是另一个答案。在刚体模型中，质心的位移与几何点的位移是一样的。这是一般力学公式简化成质点运动可行性的依据，而这个问题并非如此，所以答案也不同。
你的解释中说 “上面 x_b 是船的位置坐标。这一点应该没有问题"，这洽是问题所在，没问题只是在人船刚体假设成立时。 - 博主回复(2016-12-20 02:12)：谢谢应老师评论。这个模型里没有质点。牛顿动量定律 f=ma 适用于有限大小的物体。从物理上来说，船受到的阻力正比于船的速度（而不是“人+船”质心的速度），是一个合理的与现实接近的模型。
- 删除 回复[4]apple79
- 如果在定律的运用上还在出错，奢谈格物是浪费时间。定律没有弄对，去关注这道物理题是不是出得不好。就是我说的转移话题，换句话说就是搞不清定律的运用而责怪题目出得不好。
伽利略的斜面实验难道没有摩擦力？当然有。但他就没有提到摩擦力。牛顿第一定律。谁看到过匀速直线运动？没有。但他就能从最终静止的运动中得出第一定律。这难道都是伪科学？
- 删除 回复[3]apple79
- 希望再来这说话的老师不要再像3楼这样把具体问题的对错，扯到出题这一点上。这是很滑稽的事和不诚恳的表现。
只用考虑在这些假设下，到底是对是错。如果不明白物理题是在建立一个理想模型去说明定律的应用，就不要扯其它了。
- 删除 回复[2]徐令予
- 此类文章对物理教学和科普意义重大，益处多多。希望科学网能够给予更多的重视和支持。
- 博主回复(2016-12-19 18:54)：确实如此。我请科学网对此博文加精。
如今这个时代，如果在这么基本的科学问题上还搞成马鹿不分，就成国际笑话了。
