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日志

水中球的负引力与质量重整

已有 7365 次阅读2016-10-26 06:17 |个人分类:科普|系统分类:教育| 三星公司, 加速度, 显示器, 联想, 电子

前几天我看到一个新闻提到三星公司的量子点显示器(Quantum Dot Display),准备写篇 Quantum Dot 的介绍,其中有个概念叫着 “电子空穴”(electron hole) ,想举个经典力学的例子作为比较,于是联想到水中的气泡的运动。结果发现这个水中空穴的问题还挺有意思。因此,我专门写篇博文。

考虑这个问题,一个体积为V的质量为m的空心球从深水处释放开始上浮,F=ma, 请计算球的初始加速度。水的密度为 d,重力加速度为 g。

很多人可能回答:根据阿基米德两千多年前的发现,空心球受到的浮力是排开水的重量,Fb = d V g。 取向上为正方向,空球上的力为 F = Fb - mg = - (m- dV) g 。加速度 a = (d V g - mg)m = (dV/m -1) g 。这看起来没错。我们总结说,空心球的加速度等于空心球排开水的质量除以空心球的质量减去1,再乘以重力加速度。对比一般物体的重力公式,我们发现空心球的有效引力质量为 m - dV 。对于轻球,这个值是负的。负引力质量出现了。

但这个结果显然有问题。空球可以做得很轻,排开水的质量与球质量的比可以很大。我们可以想象一个极端情况,球相当大,主要质量来自里面的空气,球壳可以忽略。水的密度(1000 kg/m^3)是空气密度(1.225 kg/m^3) 的816 倍。

上面的结果竟然说空心球的加速度达到 815 g 。不可能。但是问题在哪?

有人可能说,水的阻力呢? 水的阻力与球速度有关,速度为零,阻力为零,而球的初始速度为0 。查看我们上面的全部论证似乎无懈可击。我们只能质疑阿基米德或者其适用条件了。

浮力是全部压力的总和,球下部压强大,这个差别求和之后就得到了浮力公式。但是阿基米德原理考虑的是水处于静止平衡的状态的情况,我们的情况里,球向上加速运动必然会推动水的加速运动,水不再处于静平衡,球附近水的压强跟静止情况不同,阿基米德不能简单套用了。怎么办?

一个办法是运用流体力学,要解微分方程。难道没有更简单的方法得出一个基本正确的结果?我这里给出一个思路,这个思路在粒子物理以及凝聚态物理中都会用到。在粒子物理中,当年狄拉克提出一个电子海的概念,他想象真空填满了无限深的负能量的电子,叫着电子海。有人曾问狄拉克,如果真空有无穷多的电子,我们怎么没有被电击倒。对此,狄拉克只能说,处于这个电子海里就像鱼在水中不觉得水的存在一样。当然,现在看来,狄拉克这个电子海的概念在今天看来已经过时了,但其启发性是不可忽略的。当这个负能量的电子海里的一个电子获得能量成为正能量的电子,那么电子海就会出现一个空穴。计算发现这个空穴的质量跟电子一样,电荷是正的,称为正电子。后来,正电子被发现了。今天,正电子甚至被用于医疗成像,PET 扫描的P就是 positron --正电子。类似的空穴等于粒子的概念在凝聚态物理的能带理论中也有。

我们不妨按照类似的思路计算一下水下空心球的有效惯性质量。为此,我们考虑这个水+球系统,计算当球的速度是 v 时,系统的机械动能 E_k。球本身的动能很简单,我们需要思考的是水的动能。如下图,设球本来在位置A,以速度 v 运动到位置 B。

ball-in-water-effective-mass.jpg

最简单的物理图像是,这相当于原来在B处的水在同一时间内运动到了 A。如果是这样,那么水的动能 E_kw 将是 

[ix]E_{kw} = \frac{1}{2} \rho_w V v^2[/ix]

但这并不是实现这个结果动能最少的情况。B处的水可以流向中间的C处,而 C 处的水同时流向 A。这样,水的流速减半。水的总动能是 

[ix]E_{kw} = 2 \times \frac{1}{2} \rho_w V (v/2)^2 = \frac{1}{2} [\frac{\rho_w V}{2}] v^2[/ix]

系统的总动能 E_k 是球的动能加上水的动能,

[ix]E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} [\frac{\rho_w V}{2}] v^2 = \frac{1}{2} \left[ m+ \frac{1}{2} \rho_w V \right] \hspace{1mm} v^2[/ix]

对比动能公式,我们发现在这个水流假设下,水中球的有效机械质量为:

[ix]m_i = m+ \frac{1}{2} \rho_w V [/ix]

也就是说,水中球的有效惯性质量等于 球排开的水的质量的一半加上球本身的质量。当然,这个有效质量与水流的模式有关,但可以看出,这个等效质量也取决于球所在介质的属性。这可以叫质量重整化。

设空心球纵坐标为y, 如果我们写下 水+空心球整个系统的重力势能 U,

[ix]U= U_0 - V\rho_w g y + mg y = U_0 + (m - V\rho_w)g y[/ix]

可见,水中球的引力质量为

[ix]m_g = m - \rho_w V[/ix]

也就是说,水中球的等效引力质量等于球的引力质量减去所排开水的引力质量。这个等效引力质量可以是负的。这与半导体中空穴的电荷与电子电荷相反类似。

水中球的加速度是: 

[ix]a = \frac{m_g } {m_i} g = \frac{m-\rho_w V}{m+ \frac{1}{2}\rho_w V} g [/ix]  。

这么一个简单的问题,居然可以引发各种深刻的物理概念。大家可以进一步思考,补充。










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