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科普:电子的自旋

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发表于 2012-6-29 09:23:55 |显示全部楼层
运动的物体有动量 p = mv. 牛顿第二定律说,F =  dp/dt = ma. 还有一个量,与转动有关系,叫做角动量,其定义是

L= r x p

r 是物体的位置向量,p 是它的动量。中间那个x 叫做叉乘。
如果写分量,我们有 L_i = e_ijk *r_j * p_k

运用牛顿第二定律

dL/dt = dr/dt x p + r x dp/dt = r x F

这个 r x F 叫做力矩--角动量的变化率等于力矩。可见在没有外力矩的情况下,物体的角动量L是不变的。举例说,地球围绕着太阳转,因为引力在r的方向,因此地球所受力矩为0,地球绕日的角动量也就是不变的。。。。以上这些,中学物理都学过了。

我在前面一片博文中提到,相对论的能量公式 E^2 = p^2 + m^2 怎么开方的问题,具体怎么回事就不再细说了,总而言之,右边开方成  a*p +b*m的形式。在三维空间下,考虑到动量p有三个分量,开方的结果实际是
a_1 * p_1 + a_2 * p_2 + a_3 * p_3 + b*m = a_i * p _i + b*m

这里我们用到爱因斯坦发明的一个“速记”方式,上面重复出现的i, 意味着对不同i的求和,这样写起来简单多了。

上面的这个东西,我们用一个符号H代表,而且把里面的p,换成动量算符,也就是说
H = a_i * p_i + b*m

由此,我们就可以写出电子的量子方程,那叫着狄拉克方程。现在我们看看,这个H是否与L能否同时确定。为此我们需要计算这个东东:[L, H] = L*H - H*L 。[A, B]称为A与B的对易子,比如 [3, 4] = 3*4 - 4*3 = 12 - 12 =0。但是在量子理论里,位置与动量都成了算符,它们不再对易, [ x_j, p_j ] = i  --- 这里的i是单位虚数,-1的平方根。

有了这个,我们可以计算 [L, H],

[L_i, H] = [e_ijk x_j p_k , a_l* p_l] = e_ijk * a_l * [x_j, p_l] p_k = i* e_ijk * a_j * p_k = i a x p

由此可见,角动量 L 与 H不对易。但角动量应该是守恒的。这说明什么呢?

继续分析,电子必须有一个固有的角动量,才能保持总角动量与H对易。这个固有的角动量被称为电子的自旋。
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